UNA SIMPLE PROPUESTA...

Hola a todos quisiera compartir esta simple propuesta, si ven estas imagenes se imaginan el tema?



COMENZEMOS

1° Los ingresos mensuales de un fabricante de zapatos están dados por la función I(z)=1000-2z^2*, donde z es la cantidad de pares de zapatos que fabrica en el mes.

Realicen el gráfico aproximado de la función y respondan.

a) ¿Qué cantidad de pares debe fabricar mensualmente para obtener el mayor ingreso?

b) ¿Cuáles son los ingresos si se fabrican 125 pares de zapatos?¿y 375 pares?

2° Para poder ahorrar en el material a utilizarse para hacer el corral, Yolanda decide construir el corral para el conejo de tal forma que la pared del garaje actúe como un lado del corral. De esta forma ella solamente necesita alambrar tres lados del corral. Si comienza con 100 pies de alambre, ¿cuáles son las dimensiones del corral que le provea el área máxima?

3° Un agricultor tiene 10.000 kg de papas que sabe que puede vender a 2,00 $ el kilo. Sin embargo, por cada semana que espera para venderlas, el precio subirá 50 centavos por kilo. Desafortunadamente, cada semana pierde 200 kg. de papas por descomposición. ¿Cuándo debería él vender las papas para maximizar la cantidad total de dólares a recibir por su cosecha?

Estos son algunos enunciados de muchas situaciones que se pueden presentar a nuestros alumnos con el objetivo de introducirlos al tema y encontrar las características de:

Los coeficientes a, b y c pertenecen a los reales y con a distinto de 0, es una función cuadrática y su gráfico es una curva llamada parábola.
En la ecuación cuadrática sus términos se llaman:

Si la ecuación tiene todos los términos se dice ecuación completa, si a la función le falta el término lineal o independiente se dice que la ecuación es incompleta.

Estas curvas tienen ciertos elementos que la identifican como veremos en el siguiente gráfico de la función :

I ( 1, 0 ) Raíz
II ( -3, 0 ) Raíz
III ( -1, 4 ) Vértice
IV ( 0, 3 ) Término independiente (ordenada al origen)
V ( -2, 3 ) Simétrico del TI.

RAICES

Las raíces ( o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0, es decir los valores de x tales que y = 0. Gráficamente corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje x.
Para poder calcular las raíces de cualquier función cuadrática calculamos f (x) = 0, entonces
ax² + bx +c = 0
Pero para resolver ax² + bx +c = 0 observamos que no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, ésta tiene la particularidad de poseer un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante. Entonces, para resolverla podemos hacer uso de la fórmula:

EJE DE SIMETRÍA

La parábola presenta simetría respecto a una cierta recta vertical. Es decir, si conocemos dos puntos del gráfico (x1, p) y (x2, p), el eje de simetría pasará por el punto medio entre estos, o sea

VÉRTICE

El vértice de la parábola está ubicado sobre la recta de simetría, de modo que su coordenada x, que notaremos vale:


Conocida la coordenada x de un punto, su correspondiente coordenada y se calcula reemplazando el valor de x en la expresión de la función.
En el vértice se calcula el máximo ( o el mínimo) valor de la función de acuerdo a que la parábola tenga sus ramas para abajo o para arriba.

El resultado de la cuenta b^2 - 4ac se lo llama discriminante de la ecuación, esta operación presenta distintas posibilidades:
1° Si b2 - 4ac > 0 tenemos dos soluciones posibles.
2° Si b2 - 4ac = 0 el resultado de la raíz será 0, con lo cual la ecuación tiene una sola solución real.
3° Si b2 - 4ac < >la raíz no puede resolverse, con lo cual la ecuación no tendrá solución real.0 la parábola es cóncava o con ramas hacia arriba.

Veamos algunos ejemplos:

1° Posibilidad



2° Posibilidad
3° Posibilidad



CONCAVIDAD

Por último su concavidad estará determinado por :

A .- Si a > 0 entonces será cóncava hacia arriba

B.- Si a < 0 entonces será convexa

Espero que les sirva.


FUENTE:

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica

http://www.escolared.com.ar/nuevacarpeta/funcioncuadrat.html

http://www.its-about-time.com/htmls/mc/mc_spanish/b3ch1_pdfs/1_2.pdf